DALS003-统计推断(Inference)02-总体与样本估计

前言

这篇笔记是《Data Analysis for the Life Sciences》的第2章：统计推断(Inference)的第2部分。这一部分的主要内容涉及一些统计学的术语，即总体，样本和估计。

前面我们了解了随机变量，零假设(null distribution)与p值，现在我们描述一些涉及计算p值的数学原理。

总体(population)、样本(Sample)和估计(Estimates)

总体参数(population parameters)

在小鼠体重的案例中，我们有两种总体，对照组小鼠，高脂组小鼠，其中体重是我们感兴趣的指标。现在我们假设种群的数目是固定的，而其中的随机误差就来源于抽样。我们使用下面的这个数据集来作为案例，现在导入数据，跟前面的流程一下，如下所示：

library(downloader)
url <- "https://raw.githubusercontent.com/genomicsclass/dagdata/master/inst/extd\
ata/mice_pheno.csv"
filename <- "mice_pheno.csv"
download(url,destfile=filename)
dat <- read.csv(filename)
head(dat)

计算结果如下：

> head(dat)
  Sex Diet Bodyweight
1   F   hf      31.94
2   F   hf      32.48
3   F   hf      22.82
4   F   hf      19.92
5   F   hf      32.22
6   F   hf      27.50

现在挑一个对照组的种群，如下所示：

library(dplyr)
controlPopulation <- filter(dat,Sex == "F" & Diet == "chow") %>% dplyr::select(Bodyweight) %>% unlist
head(controlPopulation)
length(controlPopulation)

如下所示：

> head(controlPopulation)
Bodyweight1 Bodyweight2 Bodyweight3 Bodyweight4 Bodyweight5 Bodyweight6 
      27.03       24.80       27.02       28.07       23.55       22.72 
> length(controlPopulation)
[1] 225

我们通常使用 $x_{1},x_{2},\dots,x_{m}$ 来表示对照组的这些数据，其中 $m$ 表示上述总体中的数值的数目。

现在我们来挑hf组的总体，如下所示：

1
2
3

hfPopulation <- filter(dat, Sex =="F" & Diet == "hf") %>% dplyr::select(Bodyweight) %>% unlist
head(hfPopulation)
length(hfPopulation)

如下所示：

> head(hfPopulation)
Bodyweight1 Bodyweight2 Bodyweight3 Bodyweight4 Bodyweight5 Bodyweight6 
      31.94       32.48       22.82       19.92       32.22       27.50 
> length(hfPopulation)
[1] 200

现在我们使用y来表示hf组总体中的数目，即 $y_{1}, y_{2}, \dots,y_{y}$，现在我们定义这些总体的一些参数：

均值：

$\mu_{X}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} x_{i} \text { and } \mu_{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}$

方差(variance)：

$\sigma_{X}^{2}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}-\mu_{X}\right)^{2} \text { and } \sigma_{Y}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\mu_{Y}\right)^{2}$

另外，标准差(standard deviation, SD)就是方差的平方根。

我们从总体中获得的这两个参数，即均值和方差，称为总体参数(population parameters)。

我们一开始的问题就可以这么写：$\mu_{Y}-\mu_{X}=0$?

虽然在我们的案例中我们获取了所有的值（总体），并且验证这个问题是否为真，但是在实际中，我们并不能这么干。例如，在实际实验中，购买一个总体中的所有小鼠非常昂贵。此时，我们可以抽取一个样本(sample)来回答这个问题（也就是hf组和chow组中的小鼠体重的差异是否为0这个问题）。这就是统计推断(statistical inference)的本质，即使用小量的样本来推测总体的数据情况。

样本估计(sample estimates)

在前面部分中，我们从每个总体（hf总体和chow总体）中获取了样本，每个样本中有12只小鼠。在统计学中，我们经常使用大写字母来表示这些随机抽取的样本。因此这些样本就表示为 $X_{1}, \ldots, X_{M}$ 和 $Y_{1}, \ldots, Y_{N}$ ，在这个案例中，假设我们有12个样本，也就是说 $N=M=12$ ，当我们列出总体的值时（这个总体此时是设定的，不随机的），我们就使用小写字母来表示它们。

由于我们想知道总体的两个均值$\mu_{Y}-\mu_{X}$是否为0，我们可以通过计算它们的样本之差是否为0，也即$\bar{Y}-\bar{X}$是否为0来进行推断（在统计学中，常用希腊字母$\mu$来表示总体均值，而用大写字母上加横的形式表示样本均值）：

$\overline{X}=\frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} X_{i} \text { and } \overline{Y}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} Y_{i}$

需要注意的是，2个均值的差值也是一个随机变量，这些内容我们在前面已经提及。

练习

P39